El principio de relatividad implica la equivalencia entre las leyes mecánicas que obtengan dos observadores inerciales, ¿cómo se manifiesta tal equivalencia?
Sistema de coordenadas de un observador O que se considera en reposo
El observador
O dibuja un diagrama de espacio tiempo con una línea de universo vertical para representar su historia en el Universo
O lleva consigo un reloj con el que va marcando cada unidad de tiempo sobre su línea de universo con lo que construye el
eje t .
El eje x lo construye con todos los eventos que tengan t=0. Eje x es la recta t=0
El sistema de referencia se completa con un enrejillado (lineas punteadas del dibujo). El enrejillado se emplea para determinar posición y tiempo para cada evento, para mediciónes de lapsos y distancias entre eventos o de las velocidadades y aceleraciones en el movimiento de una línea de universo.
Sistema de coordenadas de un observador inercial O' en movimiento relativo respecto a O
¿Como dibuja en su diagrama de espacio tiempo el observador
O el sistema de referencia de
O' ?
La línea de universo de
O' en el diagrama de
O es una recta inclinada no horizontal
El observador O' lleva consigo un reloj, que suponemos está sincronizado con el reloj de O, con el que marca sobre su línea de Universo las unidades de tiempo. El eje t' es la línea de universo de O'
El eje x' se construye con todos los eventos que O' determina con t'=0. Así con líneas paralelas al eje x' tenemos los planos de simultaneidad. El tiempo es una cantidad universal o absoluta en los modelos de Aristoteles y de Galileo
Y con rectas paralelas al eje t' terminamos de construir el sistema de coordenadas de O' como lo ve O en su diagrama.
Transformación de Galileo
En el sistema de referencia de O se asignan coordenadas (x,t) al evento A, mientras que en sistema de referencia de O' se le asignan las coordenadas (x',t'). ¿Cuál es la relación entre las coordenadas de O' respecto a las de O?Veamos el dibujo
La magnitud del segmento oB es el valor de x, mientras que la magnitud del segmento t'A es el valor del x'. El segmento oB es igual en magnitud al segmento tA,
oB=tA
pero el segmento tA se forma de unir los segmentos tt' y t'A, esto es
tA=tt'+t'A
entonces
oB=tt'+t'A
como oB=x y t'A=x'
x=tt'+x'
El observador O' se mueve sobre la recta con ecuacion x=vt, esto implica que el segmento tt' tenga magnitud vt. Entonces tenemos
x=vt+x'
x'=x-vt
que junto con el valor absoluto para el tiempo, t'=t, conforman las ecuaciones que relacionan las coordenadas (x',t') con las coordenadas (x,t) y son conocidas como la
transformación de Galileo
t'=t
x'=x-vt
El espacio es relativo
Comparemos como es la medida de distancia entre dos eventos A y B por un observador O respecto a la medida obtenida por otro observador inercial O' en movimiento relativo. En las figuras se muestran los diagramas de espacio tiempo de O comparando las medidas de O y O'. El observador O mide la distancia entre los eventos A y B como la longitud del segmento AD, mientras que O' mide la longitud del segmento AC. Observemos que a mayor velocidad de O' mayor es la diferencia en las medidas.
Esto se puede derivar de la transformación de Galileo. Si O determina una distancia Lentre los eventos AB, mietras que O' determina un valor L' para los mismos eventos, con lo que obtenemos la relación
Si L'=L-vDt, entonces la diferencia entre L y L' es L-L' por lo que
L-L'=vDt
El valor de la diferencia L-L' depende de dos números, la velocidad v con que se mueve O' respecto de O y del lapso de tiempo Dt. Es claro que a mayor velocidad la diferencia será mayor, pero además entre mayor sea el lapso de tiempo Dt entre los dos eventos A y B tambien será mayor la diferencia.
Otra consecuencia que se observa es que si la velocidad relativa entre O y O' es cero, v=0, entonces
L-L'=0,
lo que significa L=L' las dos distancias son iguales para los dos observadores!!!
y también si el lapso Dt=0 se tiene que las dos distancias son iguales. Ahora bien, que Dt=0 para dos eventos significa que los dos eventos son simultáneos, por lo que podemos formular la siguiente ley:
La distancia entre dos eventos simultáneos es una cantidad universal o absoluta.
La velocidad es relativa
Supongamos que un objeto se movió del evento A al evento B, por lo que los observadores O y O' , cada uno desde su laboratorio, calculan su velocidad a partir de las respectivas mediciones de distancia que hacen para los eventos A y B.
Para O: v=L/
Dt
para O': v'=L'/
Dt'
Usando que si v
0 es la velocidad relativa entre O y O' , tenemos que L'=L – v
0 Dt y sustituyendo esto en la relación para v'
v'=( L – v0 Dt ) /Dt =L/ Dt - v0 =v- v0
v'=v- v0
La aceleración es absoluta
En general, la velocidad esta relacionada con el inverso de la pendiente de la recta tangente a la linea de universo de un objeto en movimiento, por lo la velocidad para un objeto con línea de universo la curva f, en los eventos A y B esta dada por la recta tangente a al curva en esos puntos
Para O la aceleracion se calcula como a=(v2-v1)/Dt
para O' la aceleración se calcula como a'= (v'
2-v'
1)/
Dt'
Si la velocidad reltiva entre O y O' es v
0 , entonces empleamos la relación entre las velocidades
a'= (v2- v0 -(v1-v0) )/Dt'
a'= (v2 -v1 )/Dt
a'=a
Las aceleraciones que calcula cada observador son iguales, por lo tanto la aceleración es una cantidad Universal o absoluta.
En el caso de un espacio tiempo bidimensional (x,t) representamos el cono de luz como dos líneas cruzadas, una de pendiente 1 y otra de pendiente -1.(Estamos normalizando la velocidad de la luz al valor c=1).
